Tutti abbiamo sentito almeno una volta l’espressione “campo elettrico” o “campo magnetico”. Il concetto di campo è molto potente ma tutto sommato abbastanza semplice da comprendere, almeno intuitivamente: per ogni punto dello spazio si disegna una freccia che rappresenta la direzione, il verso e l’intensità di una forza in quel punto. Il bello è che un campo si può vedere.

Famoso è il semplice esperimento della limatura di ferro che, sparsa casualmente su un foglio di carta sotto il quale viene posizionata una calamita, si va a disporre velocemente lungo le linee del campo magnetico, rilevandone la forma.

Grazie ad altri esperimenti, molto più sofisticati di questo, si è scoperto che un campo elettrico che varia nel tempo produce un campo magnetico. E viceversa un campo magnetico che varia nel tempo produce un campo elettrico. Già a partire da questo fatto si può immaginare come i due campi siano collegati in qualche modo.

Se poi si considera che, come conseguenza diretta di ciò, la variazione della variazione di un campo elettrico è un campo elettrico essa stessa, e allo stesso modo la variazione della variazione di un campo magnetico è un campo magnetico, allora si comprende come ci debba essere un collegamento molto profondo fra questi campi.

I due campi vengono infatti ormai considerati a tutti gli effetti due manifestazioni di un unico campo, chiamato appunto campo elettromagnetico.

Nell’articolo che James Clerk Maxwell pubblicò nel 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, il fisico e matematico inglese definì in modo completo questo legame fra i due campi mettendo insieme le due leggi di Gauss sull’elettrostatica e il magnetismo con la legge di Faraday e quella di Ampère, da Maxwell stesso perfezionata.

Grazie a queste leggi, ora conosciute come Equazioni di Maxwell, lo scienziato dedusse anche che la luce è un’onda elettromagnetica che si propaga nello spazio e nel tempo. Dopo secoli di speculazioni sulla sua natura, come la teoria corpuscolare di Newton, si era finalmente giunti a un modello fisico in grado di supportare ottimamente anche i dati sperimentali sulle osservazioni dell’ottica.

Quest’onda, però, si propaga spontaneamente a una velocità particolare, quella che poi si capì essere la velocità massima per qualsiasi oggetto fisico. Nell’elettromagnetismo c’era quindi qualcosa di molto diverso rispetto a tutte le altre leggi della Fisica fino ad allora scoperte. Fino a quel momento, infatti, le leggi della meccanica si occupavano solo di oggetti che si muovevano a velocità relativamente basse, come un sasso in caduta libera, una palla sparata da cannone o un pianeta in orbita attorno al Sole. Le velocità in meccanica classica si sommano come due numeri qualsiasi: 2 m/s più 2 m/s fa 4 m/s. Questo proprio perché si tratta di valori sufficientemente piccoli e, a queste condizioni, è possibile fare previsioni con una precisione fantastica, come l’esistenza di pianeti mai osservati prima, come successe a per la scoperta di Nettuno.

Le leggi della Fisica non erano però mai state messe alla prova con esperimenti a velocità paragonabili a quelle della luce, che è di quasi 300 mila km al secondo. Di conseguenza, non potevano tener conto di cosa accade quando le velocità sono molto più alte. Velocità che, si scoprirà, non si sommano più come due numeri qualsiasi.

Nell’elettromagnetismo, invece, queste velocità altissime sono la normalità, perché non solo le onde elettromagnetiche si propagano nel vuoto proprio alla velocità limite, ma anche perché non possono proprio fare a meno di farlo. Avere a che fare con oggetti fisici così veloci fece entrare gratuitamente, e inconsapevolmente, i principi relativistici nelle leggi formalizzate da Maxwell.

Ecco tutte e quattro le Equazioni di Maxwell, espresse in forma locale, ovvero in modo che descrivano il comportamento dei campi elettrico e magnetico punto per punto nello spazio e nel tempo:

Dove E è il campo elettrico, B quello magnetico, J è la densità di corrente, 𝜌 è la densità di carica elettrica, 𝜇₀ è la permeabilità magnetica del vuoto e 𝜖₀ è la costante dielettrica del vuoto. Queste due costanti rappresentano la capacità del vuoto di permettere il passaggio di un campo magnetico e di uno elettrico.

Infine, l’operatore differenziale vettoriale nabla, con il simbolo ∇, permette di calcolare la divergenza e il rotore: queste, intuitivamente, indicano rispettivamente la presenza di sorgenti e di vortici nel campi vettoriali nel punto considerato.

L’onda elettromagnetica

Sorge però un problema, una stranezza, se prendiamo un caso particolare. Se si immaginano un campo elettrico e uno magnetico in un punto nel vuoto, lontano da qualsiasi sorgente, le equazioni ammettono una soluzione nella forma di un’onda. Un’onda un po’ particolare. Vediamo innanzitutto come si ottiene.

Il primo passaggio è chiaramente quello di imporre di trovarsi nel vuoto, dove quindi non c’è carica elettrica. Quindi anche la densità di carica e la corrente sono nulle. La prima equazione diventa:

E la quarta diventa:

Notare che siccome la carica magnetica, il cosiddetto monopòlo magnetico, non esiste (o meglio, nonostante reiterati tentativi non sia mai stato osservato un polo magnetico Nord isolato da quello Sud), la carica magnetica è sempre zero e la seconda legge di Maxwell è già pronta per il vuoto.

A questo punto si può ricavare il prodotto vettoriale fra l’operatore differenziale vettoriale ∇ (nabla) e il primo membro della terza equazione di Maxwell, ovvero il rotore del rotore di E:

Dove il primo membro può essere semplificato grazie alla seguente identità vettoriale, valida per qualsiasi campo vettoriale:

Dove ∇² è l’operatore di Laplace il quale, se ∇ (nabla) opera una derivata, ∇² opera una derivata seconda.

Se applicata al campo elettrico, il secondo membro infatti perde il primo termine (per la prima legge di Maxwell nel vuoto), ottenendo quindi dalla terza legge di Maxwell:

Ma il termine derivato è nella quarta legge di Maxwell, quindi si ottiene:

Che è nella forma di una equazione d’onda, la quale, per un campo generico A, si scrive in termini locali come

e descrive come una perturbazione di un campo vettoriale si propaghi nello spazio e nel tempo. La velocità di propagazione dell’onda del campo elettrico è quindi

Dal momento che

Allora:

Con gli stessi passaggi si ottiene anche l’equazione d’onda per il campo magnetico:

Che ha la stessa velocità di propagazione dell’onda per il campo elettrico.

L’invarianza della velocità di propagazione

Riassumendo, le variazioni di un campo elettrico generano un campo magnetico e viceversa. Queste variazioni si propagano nello spazio come un’onda elettromagnetica alla stessa velocità, con i campi elettrico e magnetico che oscillano insieme e si generano reciprocamente. È automatico dedurre che sono solo due manifestazioni di uno stesso campo: il campo elettromagnetico.

Ma perché, come accennato prima, questa onda sarebbe un po’ particolare?

È sufficiente vedere non tanto quanto valga la velocità di propagazione ma cosa essa sia.

Si tratta di un numero che si calcola a partire dalla permeabilità magnetica del vuoto e dalla costante dielettrica del vuoto, le quali, come detto precedentemente, misurano la capacità del vuoto di permettere il passaggio di un campo magnetico e di uno elettrico. Nonostante siano valori che derivano da altre costanti universali, come la carica dell’elettrone e la costante di Plank, 𝜇₀ e 𝜖₀ sono costanti che non dipendono dal sistema di riferimento.

Di conseguenza nemmeno la velocità di propagazione di un onda elettromagnetica può dipendere dal sistema di riferimento.

Ecco, è proprio questo fatto che nel 1905 fu preso da Albert Einstein come un fondamentale postulato (il secondo) da cui discende la Relatività Speciale: esiste una velocità costante in qualsiasi sistema di riferimento che è la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche. Ed è la velocità della luce nel vuoto.

Ed è anche per questo che nel 1983 si è scelto di usare il valore di c = 299.792.458 m/s come definizione della velocità della luce, ovvero come una costante esatta, esente da errori di misura. E di ricavare le altre di conseguenza. Quindi ad esempio il metro è definito ora come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299.792.458 di secondo. Anche la permeabilità magnetica e la costante dielettrica viste prima sono quindi calcolate a partire da c (ma non solo). Ma si tratta di scelte di praticità e convenienza: non esiste una legge di natura che imponga queste scelte piuttosto che il contrario.

Il primo postulato è invece l’invarianza delle leggi della fisica rispetto ai sistemi di riferimento inerziali. Queste due idee fondamentali sono le uniche necessarie per derivare tutta la Relatività Speciale. La prima è una richiesta ragionevole che Einstein spiegava con una frase, forse apocrifa, molto divertente: “non deve essere necessario riscrivere le leggi della fisica quando sterzo il manubrio della mia bicicletta”.

Il fatto straordinario è che la seconda idea sulla costanza della velocità della luce era deducibile, come abbiamo visto, già 40 anni prima dell’articolo di Einstein, tramite leggi dell’elettromagnetismo.

Perché nessuno ci aveva pensato prima?

All’epoca di Maxwell si credeva che le onde elettromagnetiche, come quelle sonore, avessero bisogno di un mezzo per propagarsi. Questo ipotetico mezzo, chiamato etere luminifero, era visto come un riferimento assoluto rispetto al quale si potesse misurare il moto delle onde luminose.

Le equazioni di Maxwell erano compatibili con questa visione, poiché si pensava che la velocità della luce fosse relativa a questo etere. Ciò implicava che, misurando la velocità della luce in direzioni diverse, si sarebbe dovuta rilevare una variazione dovuta al movimento della Terra attraverso l’etere. Un cosiddetto vento d’etere, un effetto simile al vento apparente che si percepisce quando si è in movimento rispetto all’aria. Albert Abraham Michelson e Edward Morley riuscirono a realizzare nel 1887 il loro famoso esperimento con l’interferometro che avrebbe dovuto misurare le eventuali minime differenze di velocità di propagazione della luce quando la Terra si muoveva in direzioni diverse nell’etere, in momenti diversi dell’anno e quindi in posizioni diverse nell’orbita attorno al Sole.

L’esperimento però non rilevò alcuna differenza nella velocità della luce, che risultava costante indipendentemente dalla direzione del moto terrestre. Questo risultato mise in crisi l’ipotesi dell’esistenza dell’etere, ma molti fisici cercarono spiegazioni alternative per tentare di salvarlo.

Quella più banale era che la Terra, chissà per quale motivo, fosse sempre ferma rispetto all’etere. Un “privilegio” inspiegabile per il nostro particolare pianeta. Hendrik Lorentz e George Francis FitzGerald ipotizzarono invece che la materia si contragga nel senso del moto esattamente della quantità necessaria ad accorciare il braccio dell’interferometro dell’esperimento di Michelson-Morley e rendere quindi nulla la misurazione. Ecco che, come spessissimo nella storia della Scienza, inizialmente si preferisca aggiungere ipotesi ad hoc per salvare le teorie esistenti, piuttosto che ammettere la necessità di un radicale cambiamento di paradigma.

Nel 1905 Albert Einstein abbandonò completamente l’idea dell’etere, ritenendola un’ipotesi superflua, e propose un approccio radicalmente diverso anche rispetto all’ipotesi della contrazione della materia. Come accennato, i suoi due postulati, alla base della sua Teoria della Relatività Speciale, erano:

1. Le leggi della fisica sono invarianti in tutti i sistemi di riferimento inerziali
2. La luce si propaga nel vuoto a velocità costante c indipendentemente dallo stato di moto della sorgente o dell’osservatore.

Questi postulati hanno come conseguenza l’esistenza dello spaziotempo, una struttura quadridimensionale dell’Universo con tre componenti spaziali e una temporale. E che non è quindi la materia ma proprio la componente spaziale a contrarsi lungo il moto. Nello stesso momento, la componente temporale si dilatava. Rendendo, per la prima volta nella Storia della Scienza, sia il concetto di spazio che quello di tempo non assoluti. Appunto, relativi.

Nei 40 anni che sono passati dalla formalizzazione di Maxwell all’articolo di Einstein, gli ostacoli principali alla comprensione dello spaziotempo furono sicuramente il forte legame dei fisici con il paradigma newtoniano, che richiedeva appunto un tempo e uno spazio assoluti, ben radicato anche in filosofia. Come abbiamo visto, una volta che si arrivò alle equazioni di Maxwell, le si pensarono valide solo in un sistema di riferimento speciale, cioè l’etere. E se dopo 22 anni si iniziarono ad avere le prime evidenze sperimentali per mettere in dubbio il concetto di etere, grazie all’esperimento di Michelson-Morley, si tentò comunque un approccio conservativo, accettando le correzioni di Lorentz che sembravano una spiegazione plausibile senza dover rivoluzionare i concetti di spazio e tempo.

Infatti, Lorentz inizialmente introdusse delle trasformazioni per spiegare solo la contrazione della lunghezza. Successivamente la ampliò per includere anche effetti relativi alla dilatazione temporale. Tuttavia, egli considerava ancora il tempo t’ come un artificio matematico (un tempo locale ma non reale) necessario per preservare l’accordo con l’etere, e non come una realtà fisica.

Einstein ebbe il merito di prendere sul serio i risultati sperimentali e di interpretare le equazioni di Maxwell senza ipotesi aggiuntive, come appunto l’esistenza dell’etere. La sua capacità di accettare implicazioni radicali e di formulare principi semplici, ma profondamente innovativi, ha segnato l’inizio di una nuova era nella fisica moderna.

E dal momento che l’interpretazione di Lorentz era errata ma il problema che voleva risolvere era matematicamente lo stesso, le trasformazioni da lui calcolate andavano benissimo anche per la Relatività Speciale. Infatti Einstein introdusse l’intervallo spaziotemporale, una sorta di distanza in 4 dimensioni, come

E tale intervallo rimane invariato in seguito a una trasformazione di Lorentz:

Dove

Le stesse trasformazioni, inevitabilmente, vanno bene anche per l’equazione dell’onda elettromagnetica, che quindi conserva la sua forma (cioè è covariante) sotto trasformazioni di Lorentz.

E, infine, vanno bene anche per il cosiddetto tensore elettromagnetico

che è una matrice che descrive i campi elettrico e magnetico in modo compatto e si trasforma perfettamente secondo le regole della Relatività Speciale.

E questo significa che l’elettromagnetismo, così come formulato da Maxwell 40 anni prima, era già relativistico.

Anche se nessuno non lo sapeva.

Fonti

• A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, James Clerk Maxwell
• “On the Electrodynamics of Moving Bodies”, di A. Einstein
• Fundamental Physical Constants: speed of light in vacuum

Wikipedia:

• Campo di forze
• Equazioni di Maxwell
• Relatività Speciale
• Ottica
• Identità vettoriali
• Operatore di Laplace
• Divergenza
• Rotore
• Costante dielettrica del vuoto
• Permeabilità magnetica
• Esperimento di Michelson-Morley
• Trasformazioni di Lorentz