1. Moltiplicalo per 1 miliardo.
2. Poi per 1 miliardo di miliardi di miliardi.
3. Adesso aggiungi un miliardo di miliardi di zeri.
4. Infine moltiplica il risultato per sé stesso per un miliardo di miliardi di miliardi di volte.

Ripeti i passi da 1 a 4 per un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di volte.

Sei ancora più vicino a zero che a infinito.

Anzi, infinitamente più vicino a zero che a infinito.

Dimostrazione

Ecco una dimostrazione della conclusione di questo piccolo giochino sul concetto di infinito.

Consideriamo un qualsiasi numero reale positivo \(x\), come quello ottenuto alla fine del calcolo proposto. Per quanto grande sia e per quanto lungo possa essere da calcolare e scrivere, si tratta sempre di un numero finito.

La distanza tra \(0\) e \(x\) è banalmente \(x – 0 = x\).

Ora, consideriamo la distanza tra \(x\) e \(\infty\). Più correttamente calcoliamo \(y – x\), dove \(y\) è una variabile che tende a infinito. Quindi \(x\) diventa trascurabile e

\(\lim\limits_{y \to \infty} (y – x) = \lim\limits_{y \to \infty} y(1-\frac{x}{y}) = \lim\limits_{y \to \infty} y = \infty\)

Proprio perché

\(\lim\limits_{y \to \infty} \frac{x}{y} = 0\)

visto che \(y\), crescendo indefinitamente, sarà sempre molto più grande di \(x\) che invece rimane costante. Il loro rapporto tenderà a zero.

Questo dimostra che la distanza tra \(x\) e \(\infty\) è infinita, per qualsiasi \(x\).

Anche se a questo punto la conclusione è ovvia, possiamo confrontare queste due distanze, ovvero chiederci se sia più grande la distanza fra zero e \(x\) o quella fra \(x\) e infinito, per qualsiasi \(x\). È sufficiente scrivere:

\(\lim\limits_{y \to \infty} \frac{x – 0}{y – x}\)

E chiedersi se il denominatore cresca più del numeratore, e quindi la frazione vada a zero.

Usando le equazioni precedenti, si semplifica tutto come segue:

\(\lim\limits_{y \to \infty} \frac{x}{y} = 0\)

Questo dimostra che un numero finito \(x\), per quanto grande sia, è sempre infinitamente più vicino a zero che all’infinito.